Análise combinatória e probabilidade

Análise combinatória e probabilidade

Os matemáticos franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662) foram os primeiros a estudar questões relacionadas à probabilidade de maneira organizada. Com esses estudos, desenvolveu-se uma teoria que posteriormente seria imprescindível ao progresso da Física Quântica e das modernas teorias sobre o Caos. Não esqueça! Para calcular o número de combinações, temos: Exercícios resolvidos 1- Um código secreto é formado por uma letra escolhida entre A, B, C, D e E, seguida de um algarismo entre 1, 2 e 3. Qual o total de códigos possíveis? Discussão e Resolução: Anote! A probabilidade de ocorrência de um evento é: onde n (A) é o número de elementos do evento e n (S) é o número de elementos do espaço amostral de S. Esse total pode ser visualizado na tabela seguinte: letra algarismo 1 2 3 A (A,1) (A,2) (A,3) B (B,1) (B,2) (B,3) C (C,1) (C,2) (C,3) D (D,1) (D,2) (D,3) E (E,1) (E,2) (E,3) R: A resposta correta é que há 15 códigos possíveis. 2- Com seis números positivos e seis negativos, podemos escolher 4 números cujo produto entre eles é positivo. O número de escolhas possíveis é: a) 720 b) 225 c) 320 d) 900 e) 500 Resolução: Se você escolhe uma coisa, dentre várias, preocupando-se com a natureza do que será escolhido e não com a ordem, trata-se de um problema de combinação. No exercício proposto acima, para que o produto de 4 números seja positivo é necessário que os 4 números escolhidos sejam: 4 positivos → C6,4 ou 4 negativos → C6,4 ou 2 positivos e 2 negativos → C6,2 C6,2 Então teremos um total de: R: A resposta correta é dada pela alternativa b. 3- (FUVEST) Dez livros, dos quais 7 de Economia, são colocados aleatoriamente na prateleira de uma estante. Qual a probabilidade de que os 7 livros de Economia fiquem juntos? a) 1⁄2 b) 7⁄10 c) 1⁄30 d) 1⁄5 e) 1 Resolução: Calculando o número de maneiras de dispor 10 livros em uma estante e lembrando que permutação de n é: n! = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1 Podemos dispor os 10 livros de 10! modos diferentes na estante (todas as possíveis posições ocupadas pelos 10 livros). Como os livros de Economia não podem ficar separados, vamos considerá-los como se fossem um único livro: É o mesmo que termos 4 livros, que podem ser arrumados de 4! maneiras diferentes. Podemos também permutar os 7 livros de Economia entre eles, isto é 7! Terminando o problema, temos: A: Evento em que os livros de economia fiquem juntos n (A) = = 4! . 7! B: É o espaço amostral, isto é, o número total de maneiras de permutar 7 livros n (S) = 10! Logo: R: E a alternativa correta é a c Exercícios 1- (FUVEST 97) Numa primeira fase de um campeonato de xadrez, cada jogador joga uma vez contra todos os demais. Nessa fase foram realizados 78 jogos. Quantos eram os jogadores? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 Resolução: Observe que a ordem dos jogadores não interfere no número de jogos, isto é, o jogo AxB é o mesmo jogo BxA. Logo, sendo n o número de jogadores, , temos: 2- (FUVEST 98) Com as 6 letras da palavra FUVEST podem ser formadas 6! = 720 "palavras" (anagramas) de 6 letras distintas cada uma. Se essas "palavras" forem colocadas em ordem alfabética, como num dicionário, a 250ª "palavra" começa com: a) EV b) FU c) FV d) SE e) SF Resolução: Em ordem alfabética, as letras dadas são E, F, S, T, U e V. Logo: • começando com E temos 5! = 120 anagramas. • começando com F temos 5! = 120 anagramas. Portanto, no total, 240 anagramas. • começando com SE temos 4! = 24 anagramas. Portanto, no total, 264 anagramas. Logo a 250ª "palavra" começa com SE. 3- (PUC 98) Os 36 cães existentes em um canil são apenas de três raças: poodle, dálmata e boxer. Sabe-se que o total de cães das raças poodle e dálmata excede o número de cães da raça boxer em 6 unidades, enquanto que o total de cães das raças dálmata e boxer é o dobro do número dos de raça poodle. Nessas condições, escolhendo-se, ao acaso, um cão desse canil, a probabilidade de ele ser da raça poodle é: a) 1/4 b) 1/3 c) 1/2 d) 1/2 e) 2/3 Resolução: De acordo com o texto, temos Resolvendo-se este sistema, teremos: p = 12 , d = 9 e b = 15. Logo, a probabilidade pedida é 4- (FUVEST 96) São efetuados lançamentos sucessivos e independentes de uma moeda perfeita (as probabilidades de cara e de coroa são iguais) até que apareça cara pela segunda vez. a) Qual é a probabilidade de que a segunda cara apareça no oitavo lançamento? R: O evento "sair a segunda cara no oitavo lançamento" significa "sair uma cara e seis coroas nos sete primeiros lançamentos e cara no oitavo lançamento", cuja probabilidade é dada por b) Sabendo-se que a segunda cara apareceu no oitavo lançamento, qual é a probabilidade condicional de que a primeira cara tenha aparecido no terceiro? R: Representando por A o evento "sair a primeira cara no terceiro lançamento", por B o evento "sair a segunda cara no oitavo lançamento" e por P(A/B) a "probabilidade de A condicionada a B", temos