Na matemática o importante é exercitar, então não perca seu tempo. Resolva estes 10 exercícios de Equações algébricas, confira as respostas, e veja como estão seus conhecimentos sobre o assunto. No final da lista você encontra lembretes do conteúdo, se achar dificuldades. Se mesmo assim continua com dúvidas ou quer reforçar o conteúdo, é só entrar em contato pelo e-mail:
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01. (VUNESP) Assinale a alternativa que indica o polinômio que possui os números 0 e 1 como raízes, sendo 0 uma raiz de multiplicidade 3:
a) p(x) = x (x3 - 1)
b) p(x) = x (x - 1)3
c) p(x) = x3 (x - 1)
d) p(x) = (x3 - x) (x - 1)
e) p(x) = x (x3 + x2 - 2)
RESPOSTA: C
02. (PUCCAMP) Sabe-se que a equação 2x3 + x2 - 6x - 3 = 0 admite uma única raiz racional e não inteira. As demais raízes dessa equação são:
a) inteiras e positivas;
b) inteiras e de sinais contrários;
c) não reais;
d) irracionais e positivas;
e) irracionais e de sinais contrários.
RESPOSTA: E
03. O polinômio de coeficientes inteiros, de menor grau possível, que tem como raízes 2 e i, pode ser:
a) x3 - 2x2 - x + 2
b) x2 + (2 - i) x - 2
c) x2 - (2 + i) x + 2i
d) x3 - 2x2 + x - 2
e) x3 + x2 - x - 2
RESPOSTA: D
04. (FUVEST) A equação x3 + mx2 + 2x + n = 0, em que m e n são números reais, admite 1 + i (i sendo a unidade imaginária) como a raiz. Então m e n valem, respectivamente:
a) 2 e 2
b) 2 e 0
c) 0 e 2
d) 2 e -2
e) -2 e 0
RESPOSTA: E
05. Sabe-se que o número complexo i é solução da equação x4 - 3x2 - 4 = 0. Então:
a) essa equação tem uma solução de multiplicidade 2;
b) as soluções dessa equação formam uma progressão;
c) a equação tem duas soluções reais irracionais;
d) a equação tem 2 soluções reais racionais;
e) a equação não tem soluções reais.
RESPOSTA: D
06. Determinar a sabendo-se que 2 é raiz da equação x4 - 3x3 + 2x2 + ax - 3 = 0.
RESOLUÇÃO: a = 3/2
07. Resolver a equação x4 - 5x2 - 10x - 6 = 0, sabendo-se que duas de suas raízes são -1 e 3.
RESOLUÇÃO: V = {-1; 3; -1 + 1; -1 - i}
08. Resolver a equação x3 - 3x2 - x + 3 = 0, sabendo-se que a soma de duas raízes é zero.
RESOLUÇÃO: O conjunto-verdade da equação é {-1; 1; 3}
09. Sabendo-se que 1 é a raiz da equação x3 - 2x2 + ax + 6 = 0, determinar a e as demais raízes da equação.
RESOLUÇÃO: a = -5 e as demais raízes são -2 e 3.
10. Sendo P(x) um polinômio de 5° grau que satisfaz as condições 1 = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 0,
obter o conjunto-verdade da equação P(x) - 1 = 0 e o valor de P(0).
RESOLUÇÃO: V = {1; 2; 3; 4; 5} e P(0) = 2
Lembretes:
Sendo P(x) um polinômio em C , chama-se equação algébrica à igualdade P(x) = 0 . Portanto, as raízes da equação algébrica , são as mesmas do polinômio P(x) . O grau do polinômio , será também o grau da equação .
Exemplo: 7x4 - 6x3 + 3x + 11 = 0 é uma equação do 4º grau .
Propriedades:
1) Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes .
Exemplo: a equação x3 - x = 0 possui 3 raízes a saber: x = 0 ou x = 1 ou x = -1. Dizemos então que o conjunto verdade ou conjunto solução da equação dada é S = {0, 1, -1}.
2) Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é divisível por x - b .
Esta propriedade é muito importante para abaixar o grau de uma equação , o que se consegue dividindo
P(x) por x - b , aplicando Briot-Ruffini.
3) Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0 , então o conjugado a - bi também será raiz .
Exemplo: qual o grau mínimo da equação P(x) = 0, sabendo-se que três de suas raízes são os
números 5,3 + 2i e4 - 3i.
Ora, pela propriedade P3, os complexos conjugados 3 - 2i e 4 + 3i são também raízes. Logo, por P1, concluímos que o grau mínimo de P(x) é igual a 5, ou seja, P(x) possui no mínimo 5 raízes.
4) Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz de grau de multiplicidade k .
Exemplo: a equação (x - 4)10 = 0 possui 10 raízes iguais a 4 . Portanto 4 é raiz décupla ou de
multiplicidade 10 .
Outro exemplo: a equação x3 = 0, possui três raízes iguais a 0 ou seja três raízes nulas com ordem de multiplicidade 3 (raízes triplas).
A equação do segundo grau x2 - 8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x’ = x’’ = 4). Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois.
5) Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica P(x) = 0 for nula , então a unidade é raiz da equação (1 é raiz).
Exemplo: 1 é raiz de 40x5 -10x3 + 10x - 40 = 0 , pois a soma dos coeficientes é igual a zero.
6) Toda equação de termo independente nulo , admite um número de raízes nulas igual ao menor expoente da variável .
Exemplo: a equação 3x5 + 4x2 = 0 possui duas raízes nulas .
A equação x100 + x12 = 0, possui 100 raízes, das quais 12 são nulas!
7) Se x1 , x2 , x3 , ... , xn são raízes da equação aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0 , então ela pode ser escrita na forma fatorada :
ao (x - x1) . (x - x2) . (x - x3) . ... . (x - xn) = 0
Exemplo: Se - 1 , 2 e 53 são as raízes de uma equação do 3º grau , então podemos escrever:
(x+1) . (x-2) . (x-53) = 0 , que desenvolvida fica : x3 - 54x2 + 51x + 106 = 0 . (verifique!).
Relações de Girard - Albert Girard (1590-1633).
São as relações existentes entre os coeficientes e as raízes de uma equação algébrica .
Para uma equação do 2º grau , da forma ax2 + bx + c = 0 , já conhecemos as seguintes relações entre os coeficientes e as raízes x1 e x2 :
x1 + x2 = - b/a e x1 . x2 = c/a .
Para uma equação do 3º grau , da forma ax3 + bx2 + cx + d = 0 , sendo x1 , x2 e x3 as raízes , temos as seguintes relações de Girard :
x1 + x2 + x3 = - b/a
x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a
x1.x2.x3 = - d/a
Para uma equação do 4º grau , da forma ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 , sendo as raízes iguais a
x1 , x2 , x3 e x4 , temos as seguintes relações de Girard :
x1 + x2 + x3 + x4 = -b/a
x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a
x1.x2x3 + x1.x2.x4 + x1.x3.x4 + x2.x3.x4 = - d/a
x1.x2.x3.x4 = e/a
NOTA: observe que os sinais se alternam a partir de ( - ) , tornando fácil a memorização das fórmulas
