Exercícios de Matemática - Geometria Analítica (resolvidos)

Voltamos ao tema "Geometria Analítica", um dos que mais complica os vestibulandos na prova de Matemática, em qualquer vestibular. Desta vez temos uma seleção de exercícios de provas de diversos vestibulares, para que possamos nos preparar bem para a prova. Se ficar com dúvidas contrate uma aula individual para maiores esclarecimentos ou mesmo fortalecimento do tema pelo email sovestibular@gmail.com.  Não perca tempo e resolva esta lista!!!! Bom trabalho!!!! ;)

1) (FGV-SP/2008) O número de intersecções entre o gráfico de uma circunferência e o gráfico de y = senx no plano ortogonal pode ocorrer em

(A) no máximo 2 pontos
(B) no máximo 4 pontos
(C) no máximo 6 pontos
(D) no máximo 8 pontos
(E) mais do que 16 pontos

Resposta: E

2) (FGV-SP/2008) Dada a equação x2 + y2 = 14x + 6y + 6, se p é o maior valor possível de x, e q é o maior valor possível de y, então, 3p + 4q é igual a

(A) 73
(B) 76
(C) 85
(D) 89
(E) 92

Resposta: D

3) (UNIFESP-SP/2008) Dadas as retas

r: 5x – 12y = 42,
s: 5x + 16y = 56 e
t: 5x + 20y = m,

o valor de m para que as três retas sejam concorrentes num mesmo ponto é

A) 14.
B) 28.
C) 36.
D) 48.
E) 58.

Resposta: E
 
4) (PUC-RS/2008) O comprimento da curva de equação (x – 1)² + (y + 1)² – 9 = 0 é

A) –1
B) 3
C)
D) 3
E) 6

Resposta: E

5) (UFU-MG/2008) Sejam as retas concorrentes r e s representadas pelas equações cartesianas r: y – 2x = 4 e s: x + ky = 6, em que k é um número real. Para que essas retas se intersectem em um ponto de coordenadas cartesianas (m, n) com m > 0 e n > 0, os possíveis valores para k são tais que

A) – 1< k < 3
B) k > – 1/2
C) k < 3/2
D) –1/2 < k < 3/2
E) NDA

Resposta: D

6) (ITA-SP/2007) Considere no plano cartesiano xy o triângulo delimitado pelas retas 2x = y, x = 2y e x = –2y + 10. A área desse triângulo mede
A) 15/2
B) 13/4
C) 11/6
D) 9/4
E) 7/2

Resposta: A 


7) (ITA-SP/2007) Sejam A: (a, 0), B: (0, a) e C: (a, a), pontos do plano cartesiano, em que a é um número real não nulo. Nas alternativas abaixo, assinale a equação do lugar geométrico dos pontos P: (x, y) cuja distância à reta que passa por A e B, é igual à distância de P ao ponto C.
A) x² + y² – 2xy – 2ax – 2ay + 3a² = 0
B) x² + y² + 2xy + 2ax + 2ay + 3a² = 0
C) x² + y² – 2xy + 2ax + 2ay + 3a² = 0
D) x² + y² – 2xy – 2ax – 2ay – 3a² = 0
E) x² + y² + 2xy – 2ax – 2ay – 3a² = 0

Resposta: A 

8) (ESPM-SP/2007)

As soluções em IR × IR do sistema

determinam, no plano cartesiano, os vértices de um polígono cuja área vale:

a) 2,5.
b) 3,0.
c) 1,5.
d) 0,5.
e) 2,0.

Resposta: A

9) (ESPM-SP/2007) Os vértices de um quadrilátero são A(0, 0); B (0, 4); C (2, 6) e D(8, 0). Uma reta passa pelo ponto A e divide esse quadrilátero em duas regiões de mesma área. O coeficiente angular dessa reta vale:

a) 1.
b) 4/5.
c) 7/9.
d) 5/6.
e) 6/7.

Resposta: C

10) (ESPM-SP/2007) A região do primeiro quadrante do plano cartesiano, determinada pela inequação x² + y² + 2xy + 3 < 4x + 4y tem área igual a:

a) 3.
b) 5.
c) 6.
d) 8.
e) 4.

Resposta: E

11) (FATEC-SP/2007)

A área do quadrilátero determinado pelos pontos de intersecção da circunferência de equação

(x + 3)² + (y – 3)² = 10

com os eixos coordenados, em unidades de área, é igual a

a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12

Resposta: B

Exercícos de Matemática - Geometria Analítica (estudo da Reta) (resolvidos)

Mais algumas questões de Geometria analítica. Hoje as questões (10 com as respectivas respostas) abordam o estudo da Reta. Em caso de dificuldades na resolução de algum exercício contrate uma aula individual pelo e-mail: sovestibular@gmail.com. Bom Estudo ;)

01. (FEI) As retas 2x - y = 3 e 2x + ay = 5 são perpendiculares. Então:

      a) a = -1

      b) a = 1

      c) a = -4

      d) a = 4

      e) n.d.a.

RESPOSTA: D

02. Determinar a reta perpendicular a 2x - 5y = 3 pelo ponto P(-2; 3).

RESPOSTA: D

03. (USP) A equação da reta que passa pelo ponto (3; 4) e é paralela à bissetriz do 2° quadrante é:

      a) y = z - 1

      b) x + y - 7 = 0

      c) y = x + 7

      d) 3x + 6y = 3

      e) n.d.a.

RESPOSTA: B

04. Determinar o ponto B simétrico de A(-4; 3) em relação à reta x + y + 3 = 0.

RESOLUÇÃO:  B = (-6; 1)

05. Determinar a reta perpendicular à reta de equação x + 2y - 3 = 0 no seu ponto de abscissa igual a 5.

RESOLUÇÃO:  2x - y - 11 = 0

 

06. Determinar a equação da mediatriz do segmento de extremos A(-3; 1) e B(5; 7).

RESOLUÇÃO:   4x + 3y - 16 = 0

07. As retas (r) 2x + 7y = 3 e (s) 3x - 2y = -8 se cortam num ponto P. Achar a equação da reta perpendicular a 

      r pelo ponto P.

RESOLUÇÃO:   7x - 2y + 16 = 0

08. As retas 3x + 2y - 1 = 0 e -4x + 6y - 10 = 0 são:

      a) paralelas

      b) coincidentes

      c) perpendiculares

      d) concorrentes e não perpendiculares

      e) n.d.a.

RESPOSTA: C

09. (USP) A equação da reta passando pela origem e paralela à reta determinada pelos pontos A(2; 3) e B(1; -4)  é:

      a) y = x

      b) y = 3x - 4

      c) x = 7y

      d) y = 7x

      e) n.d.a

RESPOSTA: D

10. Os pontos P(x, y) tais que | x | + | y | = 4 constituem:

      a) um par de retas

      b) um par de semi-retas

      c) o contorno de um quadrado

      d) quatro retas paralelas

      e) o contorno de um triângulo

RESPOSTA: C

Vamos relembrar alguns conceitos para ajudar a resolver os exercícios:

COEFICIENTE ANGULAR OU DECLIVIDADE DE UMA RETA
Coeficiente angular (m) de uma reta r não perpendicular ao eixo das abscissas é o número real m que expressa a tangente trigonométrica de sua inclinação , ou seja:    m = tg


EQUAÇÃO DA RETA

Equação geral da reta

Toda reta do plano possui uma equação da forma:  ax + by + c = 0
na qual a, b, c são constantes e a e b não simultaneamente nulos.
Exemplos:
a) – 3x + 2y - 10 = 0
b) 6x – 2y – 11 = 0

Equação reduzida da reta
É toda equação de reta onde a variável y fica isolada. Na equação da reta na forma reduzida podemos identificar o coeficiente angular do lado da variável x e o coeficiente linear (termo independente da equação).

Exemplos:
a) y = 2x – 8
Coeficiente angular = 2
Coeficiente linear = - 8

b) y = – 2x + 7
Coeficiente angular = – 2
Coeficiente linear = 7

CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR E DA EQUAÇÃO DA RETA
Para calcular o coeficiente angular (não possuindo o valor da inclinação ) e achar a equação da reta, utiliza-se uma única fórmula:
ATENÇÃO: A partir da fórmula acima, podemos determinar o coeficiente angular e a equação da reta da seguinte forma:

Ainda com dúvidas????

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Questão exemplo do ENEM 2009 - Geometria (comentada)

Hoje na questão exemplo do ENEM 2009, abordamos o tema GEOMETRIA. Apesar de ser uma questão que aborda a matemática, os cálculos são desnecessários, e um olhar criterioso sobre a própria questão pode garantir a resolução da mesma. Então tome cuidado aos detalhes da figura e experimente resolvê-la, sem "colar" a resposta que está no final... Boa experiência XD

Escher, um grande artista holandês, nasceu em 1898 e faleceu em 1970, deixando uma obra original e extraordinária. Os conceitos da Matemática, aliados à sua mente artística, aparecem em seus desenhos de ilusões espaciais, de construções impossíveis, nos quais a geometria se transforma em arte, ou a arte em geometria. Escher dedicou grande parte de seu tempo ao estudo das pavimentações do plano e trabalhou com a divisão regular do plano em figuras geométricas que se transfiguram, repetem-se e refletem, rotacionam-se. Fundamentalmente, trabalhou com isometrias, as transformações no plano que preservam distâncias. No preenchimento de superfícies, Escher usava figuras concretas, perceptíveis e existentes na natureza, como pássaros, peixes,pessoas, répteis etc.

Observe o passo a passo de uma de suas gravuras em que utiliza peixes.

Na construção dessa gravura, o artista recorreu principalmente à
a) translação.
b) simetria axial.
c) simetria em relação a um ponto.
d) rotação.
e) reflexão.


Comentário: Lembre que simetria é um conceito geométrico mas que este é utilizadona análise de formas existentes na natureza, no dia-a-dia das pessoas, nas ciências (biologia, física, química, e outras..), nas artes. Uma figura é simétrica em relação a sua forma isomera, ou seja, apresenta igualdades de formas em relação a um ponto, geralmente em relação ao seu centro.
As simetrias podem ser divididas em reflexão, rotação e translação. Na figura em questão a resposta certa é letra D, pois o desenho final é obtido através de uma rotação em forma circunferência que tem o seu centro coincidente com o centro da rotação. O esquema na obra de Escher nos mostra, então, "principalmente" rotação .

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